Hãy tưởng tượng nếu bạn chỉ có thể di chuyển qua lại trên một sợi dây mảnh, đó chính là thế giới của trục số thực. Nếu bạn muốn nhảy lên trên, sợi dây sẽ không thể chịu được. Việc giới thiệusố phứcgiống như việc thêm vào thế giới của bạn một chiều không gian hoàn toàn mới. Mỗi số phức dạng $z = a + bi$ không còn đơn thuần là một điểm trên trục số nữa, mà trở thành tọa độ $(a, b)$ trên mặt phẳng, hoặc là một vectơ phát ra từ gốc tọa độ. Sự tương ứng hoàn hảo giữa "số" và "hình" này là một trong những bước tiến vĩ đại nhất trong lịch sử toán học.
Định nghĩa đại số và đối ứng hình học của số phức
Trong sách Toán học tự chọn bắt buộc Tập 1, chúng ta đã học về hệ số phức. Số phức gồmphần thựcvàphần ảotạo thành, với dạng đại số chuẩn là $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Để hiểu rõ hơn về số phức, chúng ta đã xây dựngmặt phẳng phức:
- trục thựcphù hợp với trục $x$, biểu thị phần thực của số phức.
- trục ảophù hợp với trục $y$, biểu thị phần ảo của số phức.
- Điểm và số phứcphức $z = a + bi$ và điểm $Z(a, b)$ tạo thành mối quan hệ một-một.
- Vectơ và số phứcphức $z = a + bi$ và vectơ mặt phẳng $\vec{OZ}$ tạo thành mối quan hệ một-một.
Mô đun của số phức $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, ý nghĩa hình học là khoảng cách từ điểm $Z$ đến gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Còn $|z_1 - z_2|$ là khoảng cách giữa hai điểm.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$